Matematica discreta Esempi

$y = 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$

Passaggio 1

Imposta $3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$ uguale a $0$ .

$3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$- 8 x^{3} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x^{3} + 24 x$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $- 8 x$ da $24 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $3$ da $3 x^{4} - 6 x^{2} - 9$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Scomponi $3$ da $3 x^{4}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) - 6 x^{2} - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Scomponi $3$ da $- 6 x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) + 3 (- 2 x^{2}) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.3

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 2.1.3.4

Scomponi $3$ da $3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2})$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 2.1.3.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 2.1.5

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Passaggio 2.1.6

Scomponi $u^{2} - 2 u - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 2.1.6.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi.

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Passaggio 2.1.7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((x^{2} - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2.1.8

Scomponi $x^{2} - 3$ da $- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

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Passaggio 2.1.8.1

Scomponi $x^{2} - 3$ da $- 8 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2.1.8.2

Scomponi $x^{2} - 3$ da $3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1)) = 0$

Passaggio 2.1.8.3

Scomponi $x^{2} - 3$ da $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 (x^{2} + 1)) = 0$

Passaggio 2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

Passaggio 2.1.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3) = 0$

Passaggio 2.1.11

Riordina i termini.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.3.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 2.4

Imposta $3 x^{2} - 8 x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $3 x^{2} - 8 x + 3$ uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 8$ e $c = 3$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.2.3.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Passaggio 2.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.3.1.3

Sottrai $36$ da $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.3.1.4

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

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Passaggio 2.4.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Passaggio 2.4.2.3.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 2.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ vera.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Forma decimale:

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 2.21525043 \dots, 0.45141622 \dots$

Passaggio 4